TYTUŁ: RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY - TOM 1,2,3
AUTOR: G.M. FICHTENHOLZ
WYDAWNICTWO: PWN
ROK WYDANIA: TOM 1 - 1964, TOM 2 - 1978, TOM 3 - 1978
WYDANIE: TOM 1 - 2, TOM 2 - 7, TOM 3 - 5
FORMAT: B5
ILOŚĆ STRON: 508 + 696 + 564
OPRAWA: TWARDA
STAN BLOKU: DOBRY, BEZ PODKREŚLEŃ, PLAM itp.
KSIĄŻKI POCHODZĄ Z LIKWIDACJI BIBLIOTEKI, PIECZĄTKA
Spis treści:
TOM I
Wstęp
LICZBY RZECZYWISTE
§ 1. Liczby wymierne
1. Uwagi wstępne
2. Uporządkowanie zbioru liczb wymiernych.
3. Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych
4. Mnożenie i dzielenie liczb wymiernych
5. Aksjomat Archimedesa
§ 2. Wprowadzenie liczb wymiernych. Relacja uporządkowania w zbiorze liczb rzeczywistych
6. Definicja liczby rzeczywistej
7. Relacja uporządkowania liczb rzeczywistych
8. Tezy pomocnicze
9. Przedstawienie liczby rzeczywistej nieskończonym ułamkiem dziesiętnym
10. Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych
11. Krańce zbiorów liczbowych.
§ 3. Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych
12. Określenie sumy liczb rzeczywistych
13. Własności sumy
14. Definicja iloczynu liczb rzeczywistych
15. Własności mnożenia
16. Uwagi dodatkowe
17. Wartości bezwzględne
§ 4. Dalsze własności i zastosowania liczb rzeczywistych
18. Istnienie pierwiastka. Potęga o wykładniku wymiernym
19. Potęga o dowolnym wykładniku rzeczywistym
20. Logarytmy
21. Mierzenie odcinków
Rozdział I
TEORIA GRANIC
§ 1. Ciąg i jego granica
22. Wielkość zmienna, ciąg
23. Granica ciągu
24. Ciągi zbieżne do zera
25. Przykłady
26. Pewne twierdzenia o ciągu mającym granicę
27. Granice nieskończone
§ 2. Twierdzenia o granicach ułatwiające znajdowanie granic
28. Przejście do granicy w równości i w nierówności
29. Lematy o ciągach zbieżnych do zera
30. Działania arytmetyczne na ciągach
31. Wyrażenia nieoznaczone
32. Przykłady znajdowania granic
33. Twierdzenie Stolza i jego zastosowania
§ 3. Ciąg monotoniczny
34. Granica ciągu monotonicznego
35. Przykłady
36. Liczba e
37. Przybliżone obliczenie liczby e
38. Lemat o przedziałach zstępujących
§ 4. Kryterium zbieżności. Punkty skupienia
39. Zasada zbieżności
40. Podciągi i punkty skupienia
41. Lemat Bolzano-Weierstrassa
42. Granice górna i dolna
Rozdział II FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ
§ 1. Pojęcie funkcji
43. Zmienna i obszar jej zmienności
44. Zależność funkcyjna między zmiennymi. Przykłady
45. Definicja pojęcia funkcji
46. Analityczny sposób określenia funkcji
47. Wykres funkcji
48. Ważniejsze klasy funkcji
49. Pojęcie funkcji odwrotnej
50. Funkcje cyklometryczne (kołowe)
51. Superpozycja funkcji. Uwagi końcowe
2. Granica funkcji
52. Definicja granicy funkcji
53. Sprowadzenie do przypadku ciągu
54. Przykłady
55. Rozszerzenie teorii granic
56. Przykłady
57. Granica funkcji monotonicznej
58. Ogólne kryterium Bolzano-Cauchy'ego
59. Granice górna i dolna funkcji
3. Klasyfikacja wielkości nieskończenie małych i nieskończenie dużych
60. Porównywanie nieskończenie małych
61. Skala nieskończenie małych
62. Nieskończenie małe równoważne
63. Wydzielenie części głównej
64. Zadania
65. Klasyfikacja nieskończenie dużych
4. Ciągłość (i punkty nieciągłości) funkcji
66. Określenie ciągłości funkcji w punkcie
67. Działania arytmetyczne na funkcjach ciągłych
68. Przykłady funkcji ciągłych
69. Ciągłość jednostronna. Klasyfikacja nieciągłości
70. Przykłady funkcji nieciągłych.
71. Ciągłość i nieciągłości funkcji monotonicznej
72. Ciągłość funkcji elementarnych
73. Superpozycja funkcji ciągłych
74. Rozwiązanie pewnego równania funkcyjnego
75. Charakterystyka funkcyjna funkcji wykładniczej, logarytmicznej i potęgowej
76. Charakterystyka funkcyjna kosinusa trygonometrycznego i hiperbohcznego
77. Wykorzystanie ciągłości funkcji dla obliczania granic
78. Wyrażenia oznaczone i nieoznaczone w postaci potęgi
79. Przykłady
5. Własności funkcji ciągłych
80. Twierdzenie o zerowaniu się funkcji
81. Zastosowanie do rozwiązywania równań
82. Twierdzenie o wartości średniej
83. Istnienie funkcji odwrotnej
84. Twierdzenie o ograniczoności funkcji
85. Największa i najmniejsza wartość funkcji
86. Pojęcie ciągłości jednostajnej
87. Twierdzenie Cantora
88. Lemat Borela
89. Nowe dowody podstawowych twierdzeń
Rozdział III
POCHODNE I RÓŻNICZKI
§ 1. Pochodna i jej obliczanie
90. Zadanie obliczenia prędkości poruszającego się punktu
91. Zadanie znalezienia stycznej do krzywej
92. Definicja pochodnej
93. Przykłady obliczania pochodnych
94. Pochodna funkcji odwrotnej
95. Zestawienie wzorów na pochodne
96. Wzór na przyrost funkcji
97. Najprostsze reguły obliczania pochodnych
98. Pochodna funkcji złożonej
99. Przykłady
100. Pochodne jednostronne
101. Pochodne nieskończone
102. Dalsze przykłady przypadków specjalnych.
§ 2. Różniczka
103. Definicja różniczki
104. Związek między różniczkowalnością a istnieniem pochodnej
105. Podstawowe wzory i reguły różniczkowania
106. Niezmienniczość wzoru na różniczkę
107. Różniczki jako źródło wzorów przybliżonych
108. Zastosowanie różniczek do szacowania błędów
§ 3. Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego
109. Twierdzenie Fermata
110. Twierdzenie Darboux
111. Twierdzenie Rolle'a
112. Wzór Lagrange'a
113. Granica pochodnej
114. Wzór Cauchy'ego
§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów
115. Definicja pochodnych wyższych rzędów
116. Wzory ogólne na pochodne dowolnego rzędu
117. Wzór Leibniza
118. Przykłady
119. Różniczki wyższych rzędów
120. Niezachowywanie niezmienniczości wzoru na różniczkę wyższych rzędów
121. Różniczkowanie parametryczne
122. Różnice skończone
§ 5. Wzór Taylora
123. Wzór Taylora dla wielomianów
124. Rozwinięcie dowolnej funkcji; Reszta w postaci Peana
125. Przykłady
126. Inne postacie reszty
127. Wzory przybliżone
§ 6. Interpolacja
128. Najprostsze zagadnienie interpolacji. Wzór Lagrange'a
129. Reszta we wzorze interpolacyjnym Lagrange'a
130. Interpolacja z krotnymi węzłami. Wzór Hermite'a
Rozdział IV BADANIE FUNKCJI ZA POMOCĄ POCHODNYCH
§ 1. Badanie przebiegu funkcji
131. Warunek stałości funkcji
132. Warunek monotoniczności funkcji
133. Dowód pewnych nierówności
134. Maksima i minima; warunki konieczne
135. Warunki dostateczne. Reguła pierwsza
136. Przykłady
137. Reguła druga
138. Wykorzystanie pochodnych wyższych rzędów
139. Znajdowanie wartości największych i najmniejszych
140. Zadania
§ 2. Funkcje wypukłe i wklęsłe
141. Definicja funkcji wypukłej (wklęsłej)
142. Najprostsze twierdzenia o funkcjach wypukłych
143. Warunki wypukłości funkcji
144. Nierówność Jensena i jej zastosowania
145. Punkty przegięcia
§ 3. Konstrukcja wykresów funkcji
146. Postawienie zagadnienia
147. Schemat konstrukcji wykresu. Przykłady
148. Nieciągłości nieskończone, przedział nieskończony. Asymptoty
149. Przykłady
§ 4. Obliczenie nieoznaczoności
150. Wyrażenia nieoznaczone typu 0/0
151. Wyrażenia nieoznaczone typu oo/oo
152. Inne typy nieoznaczoności
§ 5. Przybliżone rozwiązywanie równań
153. Uwagi wstępne
154. Reguła części proporcjonalnych (metoda siecznej)
155. Reguła Newtona (metoda stycznej)
156. Przykłady i ćwiczenia
157. Metoda kombinowana
158. Przykłady i ćwiczenia
Rozdział V FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
§ 1. Pojęcia podstawowe
159. Zależność funkcyjna między zmiennymi. Przykłady
160. Funkcje dwóch zmiennych i obszary zmienności ich argumentów
161. Arytmetyczna przestrzeń n-wymiarowa.
162. Przykłady obszarów w przestrzeni-wymiarowej
163. Ogólna definicja obszaru otwartego i obszaru domkniętego
164. Funkcje n zmiennych
165. Granica funkcji wielu zmiennych
166. Związek z teorią ciągów
167. Przykłady
168. Granice iterowane
§ 2. Funkcje ciągle
169. Ciągłość i nieciągłości funkcji wielu zmiennych
170. Działania na funkcjach ciągłych
171. Funkcje* ciągłe w obszarze. Twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego
172. Lemat Bolzano-Weierstrassa
173. Twierdzenie Weierstrassa
174. Ciągłość jednostajna
175. Lemat Borela
176. Nowe dowody podstawowych twierdzeń
§ 3. Pochodne i różniczki funkcji wielu zmiennych
177. Pochodne cząstkowe i różniczki cząstkowe
178. Przyrost zupełny funkcji
179. Różniczka zupełna
180. Interpretacja geometryczna w przypadku funkcji dwóch zmiennych
181. Pochodne funkcji złożonych
182. Przykłady
183. Wzór Lagrange'a
184. Pochodna kierunkowa
185. Niezmienniczość wzoru na pierwszą różniczkę.
186. Zastosowanie różniczki zupełnej do rachunków przybliżonych
187. Funkcje jednorodne
188. Wzór Eulera
§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów
189. Pochodne wyższych rzędów
190. Twierdzenia o pochodnych mieszanych
191. Uogólnienie
192. Pochodne wyższych rzędów funkcji złożonej
193. Różniczki wyższych rzędów.
194. Różniczki funkcji złożonych
195. Wzór Taylora
§ 5. Ekstrema, wartości największe i najmniejsze
196. Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Warunki konieczne
197. Warunki dostateczne (przypadek funkcji dwu zmiennych)
198. Warunki dostateczne (przypadek ogólny)
199. Warunki nieistnienia ekstremów
200. Największe i najmniejsze wartości funkcji. Przykłady
201. Zadania
Rozdział VI WYZNACZNIKI FUNKCYJNE I ICH ZASTOSOWANIA
§ 1. Własności formalne wyznaczników funkcyjnych
202. Definicja wyznaczników funkcyjnych (jakobianów)
203. Mnożenie jakobianów
204. Mnożenie macierzy funkcyjnych (macierzy Jacobiego)
§ 2. Funkcje uwikłania
205. Pojęcie funkcji uwikłanej jednej zmiennej
206. Istnienie funkcji uwikłanej
207. Różniczkowalność funkcji uwikłanej
208. Funkcje uwikłane wielu zmiennych
209. Obliczanie pochodnych funkcji uwikłanych
210. Przykłady
§ 3. Niektóre zastosowania teorii funkcji uwikłanych
211. Ekstrema warunkowe
212. Metoda czynników nieoznaczonych Lagrange'a
213. Warunki dostateczne istnienia ekstremum warunkowego
214. Przykłady i zadania
215. Pojęcie niezależności funkcji
216. Rząd macierzy Jacobiego
§ 4. Zamiana zmiennych
217. Funkcje jednej zmiennej
218. Przykłady.
219. Funkcje wielu zmiennych. Zamiana zmiennych niezależnych
220. Metoda obliczania różniczek
221. Przypadek ogólny zamiany zmiennych
222. Przykłady
Rozdział VII
ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO DO GEOMETRII
§ 1. Przedstawienie analityczne krzywych i powierzchni
223. Krzywa na płaszczyźnie we współrzędnych prostokątnych
224. Przykłady
225. Krzywe pochodzenia mechanicznego.
226. Ktzywe na płaszczyźnie we współrzędnych biegunowych
227. Powierzchnie i krzywe w przestrzeni
228. Przedstawienie parametryczne
229. Przykłady
§ 2. Prosta styczna i płaszczyzna styczna
230. Styczna do krzywej płaskiej we współrzędnych prostokątnych
231. Przykłady
232. Styczna we współrzędnych biegunowych
233. Przykłady
234. Styczna do krzywej przestrzennej. Płaszczyzna styczna do powierzchni
235. Przykłady
236. Punkty osobliwe krzywej płaskiej
237. Przypadek parametrycznego przedstawienia krzywej
§ 3. Styczność krzywych
238. Obwiednią rodziny krzywych
239. Przykłady
240. Punkty charakterystyczne
241. Rząd styczności dwóch krzywych
242. Przypadek, gdy jedna z krzywych jest dana równaniem uwikłanym
243. Krzywa ściśle styczna
244. Inne podejście do krzywych ściśle stycznych
§ 4. Długość krzywej płaskiej
245. Lematy
246. Zwrot na krzywej
247. Długość krzywej. Addytywność długości łuku
348. Warunki dostateczne prostowalności. Różniczka łuku
249. Łuk jako parametr. Zwrot dodatni stycznej
§ 5. Krzywizna krzywej płaskiej
250. Pojęcie krzywizny
251. Koło krzywiznowe i promień krzywizny
252. Przykłady
253. Współrzędne środka krzywizny
254. Definicja ewoluty i ewolwenty; znajdowanie ewoluty
255. Własności ewolut i ewolwent
256. Znajdowanie ewolwenty
Uzupełnienie
ZAGADNIENIE PRZEDŁUŻANIA FUNKCJI
257. Przypadek funkcji jednej zmiennej
258. Postawienie zagadnienia w przypadku dwóch zmiennych
259. Twierdzenia pomocnicze
260. Podstawowe twierdzenie o przedłużaniu
261. Uogólnienie
262. Uwagi końcowe
Skorowidz
TOM II
Rozdział VIII FUNKCJA PIERWOTNA (CAŁKA NIEOZNACZONA)
§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania
263. Pojęcie funkcji pierwotnej (całki nieoznaczonej)
264. Całka i obliczanie pola
265. Tablica całek podstawowych
266. Najprostsze reguły całkowania
267. Przykłady
268. Całkowanie przez podstawienie
269. Przykłady
270. Całkowanie przez części
271. Przykłady
§ 2. Całkowanie funkcji wymiernych
272. Sformułowanie zagadnienia o całkowaniu w postaci skończonej
273. Ułamki proste i ich całkowanie
274. Rozkład ułamków właściwych na ułamki proste
275. Wyznaczenie współczynników
276. Wydzielenie części wymiernej całki
277. Przykłady
§ 3. Całkowanie pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki
278. Całkowanie wyrażeń postaci R I x
279. Całkowanie różniczek dwumiennych. Przykłady
280. Wzory redukcyjne
281. Całkowanie wyrażeń postaci R(x,ax2+bx+c). Podstawienia Eulera
282. Geometryczna interpretacja podstawień Eulera
283. Przykłady.
284. Inne sposoby obliczania
285. Przykłady
§ 4. Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne i funkcję wykładniczą
286. Całkowanie różniczek R (sin x, cos x) dx
287. Całkowanie wyrażeń sin"* cos"*
288. Przykłady
289. Przegląd innych przypadków
§ 5. Całki eliptyczne
Uwagi ogólne i definicje
Przekształcenia pomocnicze
Sprowadzenie do postaci kanonicznej
Całki eliptyczne pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju
Rozdział IX CAŁKA OZNACZONA
§ 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej
294. Inne podejście do zadania o polu
295. Definicja
296. Sumy Darboux
297. Warunek istnienia całki
298. Klasy funkcji całkowalnych m
299. Własności funkcji całkowalnych
300. Przykłady i uzupełnienia.
301. Całki górna i dolna jako granice
§ 2. Własności całek oznaczonych
302. Całka w przedziale zorientowanym
303. Własności całek wyrażające się równościami
304. Własności wyrażające się nierównościami
305. Całka oznaczona jako funkcja górnej granicy
306. Drugie twierdzenie o wartości średniej
§ 3. Obliczanie i przekształcanie całek oznaczonych
307. Obliczanie za pomocą sum całkowych
308. Podstawowy wzór rachunku całkowego
309. Przykłady
310. Inne wyprowadzenie wzoru podstawowego
311. Wzory redukcyjne
312. Przykłady
313. Wzór na zamianę zmiennej w całce oznaczonej
314. Przykłady
315. Wzór Gaussa. Przekształcenie Landena
316. Inne wyprowadzenie wzoru na zamianę zmiennej
§ 4. Niektóre zastosowania całek oznaczonych
317. Wzór Wallisa
318. Wzór Taylora z resztą w postaci całk
319. Przestępność liczby e
320. Wielomiany Legendre'a
321. Nierówności całkowe
§ 5. Przybliżone obliczanie całek oznaczonych
322. Postawienie zadania. Metoda prostokątów i metoda trapezów
323. Interpolacja paraboliczna
324. Rozdrobnienie przedziału całkowani
325. Błąd dla wzoru prostokątów
326. Błąd dla wzoru trapezów
327. Błąd dla wzoru Simpsona
328. Przykłady
Rozdział X
ZASTOSOWANIA RACHUNKU CAŁKOWEGO DO GEOMETRII, MECHANIKI I FIZYKI
§ I. Długość krzywej
329. Obliczanie długości krzywej
330. Inne podejście do definicji długości krzywej i jej obliczania
331. Przykłady
332. Równania naturalne krzywej płaskiej
333. Przykłady
334. Długość łuku krzywej przestrzennej
§ 2. Pole i objętość
335. Definicja pola. Własność addytywności
336. Pole jako granica
337. Klasy obszarów mierzalnych
338. Wyrażenie pola za pomocą całki
339. Przykłady
340. Definicja i własności pojęcia objętości
341. Klasy brył mających objętości
342. Wyrażenie objętości za pomocą całki
343. Przykłady
344. Pole powierzchni obrotowej.
345. Przykłady
346. Pole powierzchni walcowej
347. Przykłady
§ 3. Obliczanie wielkości mechanicznych i fizycznych
348. Schemat stosowania całki oznaczonej
349. Znajdowanie momentów statycznych i środka ciężkości krzywej
350. Przykłady
351. Wyznaczanie momentów statycznych i środka ciężkości figury płaskiej
352. Przykłady
353. Praca
354. Przykłady
355. Praca siły tarcia czopa płaskiego
356. Zadania na sumowanie elementów nieskończenie małych
§ 4. Najprostsze równania różniczkowe
357. Pojęcia podstawowe. Równania pierwszego rzędu
358. Równanie stopnia pierwszego względem pochodnej. Rozdzielanie zmiennych
359. Zadania
360. Uwagi o układaniu równań różniczkowych
361. Zadania
Rozdział XI
SZEREGI NIESKOŃCZONE O WYRAZACH STAŁYCH
§1. Wstęp
362. Pojęcia podstawowe
363. Przykłady
364. Podstawowe twierdzenia
§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich
365. Warunek zbieżności szeregu o wyrazach dodatnich
366. Twierdzenia o porównywaniu szeregów
367. Przykłady
368. Kryteria zbieżności Cauchy'ego i d'Alemberta
369. Kryteria Raabe'go
370. Przykłady
371. Kryterium Kummera
372. Kryterium Gaussa
373. Kryterium całkowe Maclaurina-Cauchy'ego
374. Kryterium Jermakowa
375. Uzupełnienia
§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych
376. Ogólny warunek zbieżności szeregu
377. Zbieżność bezwzględna
378. Przykłady
379. Szereg potęgowy i jego przedział zbieżności
380. Wyrażenie promienia zbieżności przez współczynniki
381. Szeregi naprzemienne
382. Przykłady
383. Przekształcenie Abcla
384. Kryteria Abela i Dirichleta
385. Przykłady
§ 4. Własności szeregów zbieżnych
386. Prawo łączności
387. Prawo przemienności szeregów bezwzględnie zbieżnych
388. Przypadek szeregów zbieżnych warunkowo
389. Mnożenie szeregów
390. Przykłady
391. Ogólne twierdzenie z teorii granic
392. Dalsze twierdzenia o mnożeniu szeregów
§ 5. Szeregi iterowane i podwójne
393. Szeregi iterowane
394. Szeregi podwójne
395. Przykłady
396. Szereg potęgowy dwóch zmiennych; obszar zbieżności
397. Przykłady
398. Szeregi wielokrotne
§ 6. Iloczyny nieskończone
399. Pojęcia podstawow
400. Przykłady..
401. Twierdzenia podstawowe. Związek z szeregami
402. Przykłady
§ 7. Rozwinięcia funkcji elementarnych
403. Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy. Szereg Taylora
404. Rozwinięcie w szereg funkcji wykładniczej, funkcji trygonometrycznych i innych
405. Szereg logarytmiczny
406. Wzór Stirlinga
407. Szereg dwumienny
408. Rozwinięcie kosinusa i sinusa w iloczyn nieskończony
§ 8. Rachunki przybliżone za pomocą szeregów. Przekształcanie szeregów
409. Uwagi ogólne
410. Obliczenie liczby n
411. Obliczanie logarytmów
412. Obliczanie pierwiastków
413. Przekształcenie szeregów potęgowych według Eulera
414. Przykłady
415. Przekształcenie Kummera.
416. Przekształcenie Markowa
§ 9. Sumowanie szeregów rozbieżnych
417. Wstęp
418. Metoda szeregów potęgowych
419. Twierdzenie Taubera
420. Metoda średnich arytmetycznych
421. Wzajemny stosunek metod Poissona-Abela i Cesary
422. Twierdzenie Hardy'ego-Landaua
423. Zastosowanie sumowania uogólnionego do mnożenia szeregów
424. Inne metody sumowania uogólnionego szeregów
425. Przykłady
426. Ogólna klasa liniowych, regularnych metod sumowania
Rozdział XII CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
§ 1. Zbieżność jednostajna
427. Uwagi wstępne
428. Zbieżność jednostajna i niejednostajna
429. Warunek jednostajnej zbieżności
430. Kryteria jednostajnej zbieżności szeregów
§ 2. Własności funkcyjne sumy szeregu
431. Ciągłość sumy szeregu
432. Uwaga o zbieżności quasi-jednostajnej
433. Przejście do granicy wyraz za wyrazem
434. Całkowanie szeregów wyraz za wyrazem
435. Różniczkowanie szeregów wyraz za wyrazem
436. Przeniesienie wyników na ciągi
437. Ciągłość sumy szeregu potęgowego
438. Całkowanie i różniczkowanie szeregów potęgowych
§ 3. Zastosowania
439. Przykłady na ciągłość sumy szeregu i przejście do granicy wyraz za wyrazem
440. Przykłady całkowania szeregów
441. Przykłady na różniczkowanie szeregu wyraz za wyrazem
442. Metoda kolejnych przybliżeń w teorii funkcji uwikłanych
443. Analityczna definicja funkcji trygonometrycznych
444. Przykład funkcji ciągłej bez pochodnej
§ 4. Dodatkowe wiadomości o szeregach potęgowych
445. Działania na szeregach potęgowych
446. Superpozycja szeregów
447. Przykłady
448. Dzielenie szeregów potęgowych
449. Liczby Bernoulliego i rozwinięcia, w których występują
450. Rozwiązywanie równań za pomocą szeregów
451. Odwrócenie szeregu potęgowego
452. Szereg Lagrange'a
§ 5. Elementarne funkcje zmiennej zespolonej
453. Liczby zespolone
454. Ciąg liczb zespolonych i jego granica
455. Funkcje zmiennej zespolonej
456. Szeregi potęgowe
457. Funkcja wykładnicza
458. Funkcja logarytmiczna
459. Funkcje trygonometryczne i ich funkcje odwrotne
460. Funkcja potęgowa
461. Przykłady
§ 6. Szeregi oscylujące i szeregi asymptotyczne. Wzory Eulera-Maclaurina
462. Przykłady
463. Definicje
464. Podstawowe własności rozwinięć asymptotycznych
465. Wyprowadzenie wzoru Eulera-Maclaurina
466. Badanie reszty
467. Przykłady obliczeń z zastosowaniem wzoru Eulera-Maclaurina
468. Inna postać wzoru Eulera-Maclaurina
469. Wzór i szereg Stirlinga
Rozdział XlII CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
§ 1. Całki niewłaściwe o granicach niesKończonych
470. Definicja całki o granicach nieskończonych
471. Zastosowanie podstawowego wzoru rachunku całkowego
472. Przykłady
473. Analogia z szeregami. Najprostsze twierdzenia
474. Zbieżność całki w przypadku funkcji dodatniej
475. Zbieżność całki w przypadku ogólnym
476. Kryteria Abela i Dirichleta
477. Sprowadzenie całki niewłaściwej do szeregu nieskończonego
478. Przykłady
§ 2. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych
479. Definicja całki z funkcji nieograniczonej
480. Uwaga o punktach osobliwych
481. Zastosowanie podstawowego wzoru rachunku całkowego. Przykłady
482. Warunki i kryteria istnienia całki
483. Przykłady
484. Wartości główne całek niewłaściwych
485. Uwaga o wartościach uogólnionych całek rozbieżnych
§ 3. Własności i przekształcenie całek niewłaściwych
486. Najprostsze własności
487. Twierdzenie o wartości średniej
488. Całkowanie przez części w przypadku całek niewłaściwych
489. Przykłady
490. Zamiana zmiennych w całkach niewłaściwych
491. Przykłady
§ 4. Specjalne metody obliczania całek niewłaściwych
492. Pewne ważne całki
493. Obliczenie całek niewłaściwych za pomocą sum całkowych. Przypadek skończonych granic całkowania
494. Całki w przedziale nieskończonym
495. Całki Froullaniego
496. Całki z funkcji wymiernych w granicach nieskończonych
497. Mieszane przykłady i ćwiczenia
§ 5. Przybliżone obliczanie całek niewłaściwych
498. Całki o skończonych granicach całkowania; wydzielenie osobliwości
499. Przykłady
500. Uwaga o przybliżonym obliczaniu całek właściwych
501. Przybliżone obliczanie całek niewłaściwych w przedziale nieskończonym
502. Wykorzystanie rozwinięć asymptotycznych
Rozdział XIV CAŁKI ZALEŻNE OD PARAMETRU
§ 1. Teoria elementarna
503. Sformułowanie zagadnienia
504. Zbieżność jednostajna do funkcji granicznej
505. Przestawienie dwóch przejść do granicy
506. Przejście do granicy pod znakiefn całki
507. Różniczkowanie pod znakiem całki
508. Całkowanie pod znakiem całki
509. Przypadek, gdy granice całki także zależą od parametru
5.10. Wprowadzenie czynnika zależnego tylko od x
511. Przykłady
512. Dowód Gaussa podstawowego twierdzenia algebry
§ 2. Zbieżność jednostajna całek
513. Definicja całki zbieżnej jednostajnie
514. kryterium zbieżności jednostajnej. Związek z szeregami
515. Warunki dostateczne zbieżności jednostajnej
516. Drugi przypadek zbieżności jednostajnej
517. Przykłady
§ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek
518. Przejście do granicy pod znakiem całki
519. Przykłady
520. Ciągłość i rożniczkowalność całki względem parametru
521. Całkowanie całki względem parametru
522. Zastosowanie do obliczania niektórych całek
523. Przykłady różniczkowania pod znakiem całki
524. Przykłady całkowania pod znakiem całki
§ 4. Uzupełnienia
525. Lemat Arzeli
526. Przejście do granicy pod znakiem całki
527. Różniczkowanie pod znakiem całki
528. Całkowanie pod znakiem całki
§ 5. Całki Eulera
529. Całka Eulera pierwszego rodzaju
530. Całka Eulera drugiego rodzaju
531. Najprostsze własności funkcji F
532. Jednoznaczne określenie funkcji Tna podstawie własności
533. Inna charakterystyka funkcyjna funkcji
534. Przykłady
535. Pochodna logarytmiczna funkcji F
536. Twierdzenie o mnożeniu funkcji F
537. Niektóre rozwinięcia w szeregi i iloczyny
538. Przykłady i uzupełnienia
539. Obliczanie pewnych całek oznaczonych
540. Wzór Stirlinga
541. Obliczenie stałej Eulera
542. Układanie tablicy logarytmów dziesiętnych funkcji F
TOM III
Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA
§ 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju
543. Definicja całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju
544. Sprowadzanie całki krzywoliniowej pierwszego rodzaju do zwykłej całki oznaczonej
545. Przykłady
§ 2. Całki krzywoliniowe drugiego rodzaju
546. Definicja całek krzywoliniowych drugiego rodzaju
547. Istnienie całki krzywoliniowej drugiego rodzaju i obliczanie tej całki
548. Przypadek krzywej zamkniętej. Orientacja płaszczyzny
549. Przykłady
550. Przybliżanie całki krzywoliniowej przez całkę po łamanej
551. Obliczanie pól za pomocą całek krzywoliniowych
552. Przykłady
553. Związek pomiędzy całkami krzywoliniowymi obu rodzajów
554. Zadania fizyczne
§ 3. Warunki niezależności całki krzywoliniowej od drogi całkowania
555. Postawienie zagadnienia; związek z różniczką zupełną
556. Różniczkowanie całki niezależnej od drogi całkowania
557. Obliczanie całki krzywolinigwej przy pomocy pierwotnej
558. Kryterium na różniczkę zupełną; znajdowanie pierwotnej, gdy obszar jest prostokątem
559. Uogólnienie na przypadek dowolnego obszaru
560. Wyniki końcowe
561. Całki po krzywych zamkniętych
562. Przypadek obszaru niejednospojnego: występowanie punktów osobliwych
563. Całka Gaussa
564. Przypadek trójwymiarowy
565. Przykłady
566. Zastosowanie do zadań fizycznych
§ 4. Funkcje o wahaniu ograniczonym
567. Definicja funkcji o wahaniu ograniczonym
568. Klasy funkcji o wahaniu ograniczonym
569. Własności funkcji o wahaniu ograniczonym
570. Kryteria na funkcje o wahaniu ograniczonym
571. Funkcje ciągłe o wahaniu ograniczonym
572. Krzywe prostowalne
§ 5. Całka Stieltjesa
573. Definicja całki Stieltjesa
574. Ogólne warunki istnienia całki Stieltjesa
575. Przypadki istnienia całki Stieltjesa
576. Własności całki Stieltjesa
577. Całkowanie przez części
578. Sprowadzenie całki Stieltjesa do całki Riemanna
579. Obliczanie całek Stieltjesa
580. Przykłady
581. Ilustracja geometryczna całki Stieltjesa
582. Twierdzenie o wartości średniej, oszacowania
583. Przechodzenie do granicy pod znakiem całki Stieltjesa
584. Przykłady i uzupełnienia
585. Sprowadzanie całki krzywoliniowej drugiego rodzaju do całki Stieltjesa
Rozdział XVI CAŁKI PODWÓJNE
§ 1. Definicja i najprostsze własności całki podwójnej
586. Zagadnienie objętości walca krzywoliniowego
587. Sprowadzanie całki podwójnej do iterowanej
588. Definicja całki podwójnej
589. Warunki istnienia całki podwójnej
590. Klasy funkcji całkowalnych
591. Całka górna i dolna jako odpowiednie granice
592. Własności funkcji całkowalnych i całek podwójnych
593. Całka jako addytywna funkcja obszaru; różniczkowanie po obszarze
§ 2. Obliczanie całki podwójnej
594. Sprowadzanie całki podwójnej do iterowanej w p rzypadku prostokąta
595. Przykłady
596. Sprowadzenie całki podwójnej do iterowanej w przypadku obszaru krzywoliniowego
597. Przykłady
598. Zastosowania do mechaniki
599. Przykłady
13. Wzór Greena
600. Wyprowadzenie wzoru Greena
601. Zastosowanie wzoru Greena do badania całek krzywoliniowych
602. Przykłady i uzupełnienia
§ 4. Zamiana zmiennych w całce podwójnej
603. Przekształcanie obszarów płaskich
604. Przykłady
605. Wyrażenie pola we współrzędnych krzywoliniowych
606. Uwagi dodatkowe
607. Wyprowadzenie geometryczne
608. Przykłady
609. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych
610. Analogia ze zwykłą całką. Całka po obszarze zorientowanym
611. Przykłady
§ 5. Całki podwójne niewłaściwe
612. Całki rozciągnięte na obszar nieograniczony
613. Twierdzenie o zbieżności bezwzględnej całki podwójnej niewłaściwej
614. Sprowadzenie całki podwójnej do iterowanej
615. Całki z funkcji nieograniczonych
616. Zamiana zmiennych w całkach niewłaściwych
617. Przykłady
Rozdział XVII POLE POWIERZCHNI. CAŁKI POWIERZCHNIOWE
§ 1. Powierzchnie dwustronne
618. Strona powierzchni
619. Przykłady
620. Orientacja powierzchni i przestrzeni
62-1. Wybór znaku we wzorach na cosinusy kierunkowe normalnej
622. Przypadek powierzchni kawałkami gładkiej
§ 2. Pole powierzchni krzywoliniowej
623. Przykład Schwarza
624. Definicja pola powierzchni krzywoliniowej
625. Uwaga
626. Istnienie pola powierzchni. Obliczanie pola
627. Przybliżanie pola przy pomocy powierzchni wielościennych wpisanych
628. Szczególny przypadek definicji pola
629. Przykłady
§ 3. Całki powierzchniowe pierwszego rodzaju
630. Definicja całki powierzchniowej pierwszego rodzaju
631. Sprowadzenie do zwykłej całki podwójnej
632. Zastosowanie całek powierzchniowych pierwszego rodzaju w mechanice
633. Przykłady
§ 4. Całki powierzchniowe drugiego rodzaju
634. Definicja całki powierzchniowej drugiego rodzaju
635. Najprostsze przypadki szczególne
636. Przypadek ogólny
637. Jeden ze szczegółów dowodu
638. Wyrażenie objętości bryły przez całkę powierzchniową
639. Wzór Stokesa
640. Przykłady
641. Zastosowanie wzoru Stokesa do badania całek krzywoliniowych w przestrzeni
Rozdział XVIII
CAŁKI POTRÓJNE I WIELOKROTNE
§ 1. Całka potrójna i jej obliczanie
642. Zagadnienie obliczania masy bryły
643. Całka potrójna i warunki jej istnienia
644. Własności funkcji całkowalnych i całek potrójnych
645. Obliczanie całki potrójnej po prostopadłościanie
646. Obliczanie całki potrójnej po obszarze dowolnym
647. Całki potrójne niewłaściwe
648. Przykłady
649. Zastosowania w mechanice
650. Przykłady
§ 2. Wzór Gaussa-Ostrogradskiego
651. Wzór Gaussa-Ostrogradskiego
652. Zastosowanie wzoru Gaussa-Ostrogradskiego do badania całek powierzchniowych
653. Całka Gaussa
654. Przykłady
§ 3. Zamiana zmiennych w całkach potrójnych
655. Przekształcanie obszarów przestrzennych; współrzędne krzywoliniowe
656. Przykłady
657. Wyrażenie objętości we współrzędnych krzywoliniowych
658. Uwagi dodatkowe
659. Wyprowadzenie geometryczne
660. Przykłady
661. Zamiana zmiennych w całce potrójnej
662. Przykłady
663. Ciążenie grawitacyjne. Potencjał punktu wewnętrznego
§ 4. Elementy analizy wektorowej
664. Skalary i wektory
665. Pola skalarne i wektorowe
666. Gradient
667. Strumień wektora przez powierzchnię
668. Wzór Gaussa-Ostrogradskiego. Dywergencja
669. Cyrkulacja wektora. Wzór Stokesa. Rotacja
670. Pola potencjalne i bezźródłowe
671. Zagadnienie odwrotne w analizie wektorowej
672. Zastosowania
§ 5. Całki wielokrotne
673. Zagadnienie grawitacji i potencjału dwóch ciał
674. Objętość bryły n-wymiarowej, całka n-krotna
675. Zamiana zmiennych w całce n-krotnej
676. Przykłady
Rozdział XIX
SZEREGI FOURIERA
§ 1. Wstęp
677. Wielkości okresowe i analiza harmoniczna
678. Określanie współczynników metodą Eulera-Fouriera
679. Ortogonalne układy funkcji
680. Interpolacja trygonometryczna
§ 2. Rozwijanie funkcji w szereg Fouriera
681. Postawienie zagadnienia. Całka Dirichleta
682. Pierwszy lemat podstawowy
683. Zasada lokalizacji
684. Kryteria Diniego i Lipschitza zbieżności szeregów Fouriera
685. Drugi lemat podstawowy
686. Kryterium Dirichleta-Jordana
687. Przypadek funkcji meokresowej
688. Przypadek przedziału dowolnego
689. Rozwinięcia w szeregi cosinusów i w szeregi sinusów
690. Przykłady
691. Rozwinięcie In r(x)
§ 3. Uzupełnienia
692. Szeregi o współczynnikach malejących
693. Sumowanie szeregów trygonometrycznych przy pomocy funkcji analitycznych zmiennej zespolonej
694. Przykłady
695. Postać zespolona szeregów Fouriera
696. Szereg sprzężony.
697. Wielokrotne szeregi Fouriera
§ 4. Charakter zbieżności szeregów Fouriera
698. Niektóre uzupełnienia do podstawowych lematów
699. Kryteria zbieżności jednostajnej szeregów Fouriera
700. Zachowanie się szeregów Fouriera w.pobliżu punktu nieciągłości. Przypadek szczególny
701. Przypadek funkcji dowolnej
702. Osobliwości szeregów Fouriera; uwagi wstępne
703. Tworzenie osobliwości
§ 5. Oszacowanie reszty w zależności od własności pochodnych funkcji
704. Związek między współczynnikami Fouriera funkcji i jej pochodnych
705. Oszacowanie sumy częściowej w przypadku funkcji ograniczonej
706. Oszacowanie reszty w przypadku funkcji o f-tej pochodnej ograniczonej
707. Przypadek funkcji, której k-ta pochodna ma wahanie ograniczone
708. Wpływ nieciągłości funkcji i jej pochodnych na rząd malenia współczynników Fouriera
709. Przypadek funkcji danej w przedziale <0, n >
710. Metoda wydzielania osobliwości
§ 6. Całka Fouriera
711. Całka Fouriera jako przypadek graniczny szeregu Fouriera
712. Uwagi wstępne
713. Warunki dostateczne
714. Modyfikacja podstawowego założenia
715. Różne postacie wzoru Fouriera
716. Przekształcenie Fouriera
717. Niektóre własności przekształcenia Fouriera
718. Przykłady i uzupełnienia
719. Przypadek funkcji dwu zmiennych
§ 7. Zastosowania
720. Wyrażenie anomalii ekscentrycznej planety przez anomalię średnią
721. Zagadnienie drgań struny
722. Zagadnienie rozchodzenia się ciepła w skończonym pręcie
723. Przypadek pręta nieskończonego
724. Modyfikacja warunków brzegowych
725. Rozchodzenie się ciepła w kołowej płytce
726. Praktyczna analiza harmoniczna. Schemat dla dwunastu rzędnych
727. Przykłady
728. Schemat dla dwudziestu czterech rzędnych
729. Przykłady
730. Porównanie przybliżonych i dokładnych wartości współczynników Fouriera
Rozdział XX SZEREGI FOURIERA (ciąg dalszy)
§ 1. Operacje na szeregach Fouriera. Zupełność i za mknie tość
731. Całkowanie szeregu Fouriera wyraz po wyrazie
732. Różniczkowanie szeregu Fouriera wyraz po wyra
