Wstęp do teorii modeli. Podręcznik dla słuchaczy studiów doktoranckich
Artur Piękosz
rok wydania: 2008
oprawa: miękka
format: B5
stron: 78
wydawnictwo: Politechnika Krakowska
Celem niniejszego podręcznika jest zaznajomienie czytelnika z podstawami teorii modeli, jedną z głównych gałęzi współczesnej logiki matematycznej (obok teorii mnogości, teorii rekursji, czy teorii dowodu). Znajomość teorii modeli generalnie wśród matematyków jest rzadka, co warto by zmienić. Będąc językiem uniwersalnym, podobnie jak teoria kategorii, teoria modeli ma szansę zunifikować znaczną część matematyki. Ponadto, ma ona swoje własne metody, które często dają zaskakująco mocne wyniki, szczególnie w zagadnieniach centralnych dla wielu dziedzin.
Podręcznik składa się z czternastu rozdziałów. Pierwsze trzy dotyczą struktur matematycznych (zwanych też systemami relacyjnymi) oraz języków je opisujących. Następne trzy rozdziały poświęcone są semantyce, czyli temu, co można wyrazić naszymi językami pierwszego rzędu o strukturach. Kolejny, siódmy rozdział podaje przykłady teorii matematycznych, które matematyk spotyka często w swojej pracy. Czytelnik bez trudu znajdzie wiele innych przykładów, które może samodzielnie próbować analizować. Dalsza część podręcznika poświęcona została podstawowym metodom teorii modeli: ultraproduktom w rozdziale ósmym, teorio-modelowej zwartości w rozdziale dziewiątym, diagramom w rozdziale dziesiątym. Eliminacja kwantyfikatorów, modelowa zupełność i induktywność to "stopnie porządności" badanych teorii. Stopnie te, o ile je osiągniemy, stają się podstawowymi narzędziami opisu badanych struktur. Poświęcone są im rozdziały jedenasty i dwunasty. W rozdziale trzynastym dochodzimy do istoty (o ile tak można powiedzieć) teorii modeli: do pojęć typu i przestrzeni typów. Całość zamyka rozdział czternasty, pokazujący jak język teorii modeli umożliwia wprowadzenie analizy niestandardowej, która może być traktowana jako jedno z wielu zastosowań.
SPIS TREŚCI:
Przedmowa
Rozdział 1. Struktury i języki
Rozdział 2. Opis struktury — termy i formuły
Rozdział 3. Homomorfizmy i podstruktury
Rozdział 4. Semantyka — znaczenie formuł
Rozdział 5. Redukty, wzbogacenia i zbiory definiowalne
Rozdział 6. Modele i teorie
Rozdział 7. Przegląd teorii
Rozdział 8. Ultraprodukty
Rozdział 9. Twierdzenie o zwartości
Rozdział 10. Diagramy
Rozdział 11. Eliminacja kwantyfikatorów
Rozdział 12. Modelowa zupełność i induktywność
Rozdział 13. Typy i nasycenie
Rozdział 14. Analiza niestandardowa — wersja prostsza
Skorowidz
Bibliografia
