Opis książki
SPIS RZECZY
Przedmowa
Rozdział I. Logiczna analiza podstaw matematyki
§ 1. Dziedzina matematyczna
§ 2. Przykłady dziedzin matematycznych
§ 3. Pewne rodzaje relacji i funkcji
§ 4. Logiczna analiza pojęć matematycznych
§ 5. Teoria mnogości E. Zermelo
§ 6. Mnogościowe ujęcie relacji i funkcji
§ 7. Genetyczna konstrukcja liczb naturalnych
§ 8. Rozszerzenie pojęcia liczby
§ 9. Tworzenie nowych dziedzin matematycznych
§ 10. Poddziedzina, homomorfizm, izomorfizm
§ 11. Produkty, liczby rzeczywiste
Kozdział II. Klasyczny rachunek logiczny
§ 1. Klasyczna charakterystyka spójników zdaniowych
§ 2. Tautologie klasycznego rachunku zdań
§ 3. Aksjomatyczne ujęcie rachunku zdań
§ 4. Klasyczne pojęcie kwantyfikatora
§ 5. Tautologie kwantyfikatorowe i twierdzenia aksj ornatyczuego rachunku
kwantyfikatorów
I. Schematy klasycznego rachunku zdań 121. — II. Schematy operowania kwantyfikatorem ogólnym 122. — III. Schematy operowania kwantyfikatorem szczegółowym 125. — IV. Założenie niepustości 127.
§ 6. Zastosowanie klasycznego rachunku logicznego............136
a. Elementarna teoria mniejszości 136. — b. Pojęcie konsekwencji w k. r. 1. 139. — c. Elementarna teoria relacji „między" 145. — d. Definicje równoważnościowe 146. — e. Aksjomatyczna teoria mnogości 149. § 7. Rachunek logiczny prawdziwy w dziedzinach niepustych i rachunek logiczny z identycznością i funkcjami oraz ich zastosowania......156
a. Klasyczny rachunek logiczny prawdziwy w dziedzinach niepustych 156. — b. Rachunek logiczny z identycznością 162. — c. Rachunek logiczny z identycznością i funkcjami 162. — d. Elementarna teoria grup 166. — e. Wprowadzenie stałych nazwowych 169. — f. Twierdzenie o nie-wyróżnianiu przez logikę żadnych stałych 172. — g. Twierdzenie o nieistotnej różnicy między k. r. 1. z funkcjami a k. r. 1. bez funkcji 173. —
h. Wprowadzanie nowych funkcji nazwowych 180. — j. Definicje w teorii mnogości, definicje warunkowe 183. — k. Elementarna teoria pierścieni 185. — 1. Elementarna teoria struktur 186. — m. Elementarna teoria algebry Boole'a 186. — n. Elementarna teoria liczb rzeczywistych 187. — o. Teoria nieelementarna liczb rzeczywistych 187. — p. Nieelementarna arytmetyka liczb naturalnych 189.
Rozdział III. Modele teorii aksjomatycznych
§ 1. Definicje indukcyjne
§ 2. Pojęcie spełniania
a. Intuicyjne pojęcie spełniania 202. — b. Język badany a metajęzyk 204. — c. Ścisła definicja pojęcia spełniania 207. — d. Niektóre własności relacji spełniania 211. — e. Tłumaczenie i relatywizacja kwantyfikatorów 215. — f. Spełnianie a tłumaczenie 221.
§ 3. Pojęcie prawdy i modelu. Własność zbioru zdań prawdziwych w modelu 223 a. Pojęcie prawdy 223. — b. Pojęcia niesprzeczności, zupełności i modelu 227. — c. Rozszerzenie pojęcia spełniania i prawdy na formuły zawierające stałe indywiduowe i symbole funkcyjne 232. — d. Opisowa zupełność 235. — e. o-niesprzeczność i konstruktywność teorii 242.
§ 4. Istnienie rozszerzeń co-zupełnych i modeli przeliczalnych
a. Istnienie rozszerzeń co-zupełnych 245. — b. Twierdzenie o pełności k. r. 1. i jego konsekwencje 249.
§ 5. Ważniejsze rodzaje modeli dla niektórych teorii matematycznych
a. Modele absolutne dla pojęcia identyczności 256. — b. Niestandardowe modele arytmetyki 263. — c. Pojęcie nieodróżnialności dziedzin 267. — d. Pojęcie kategoryczności teorii 268. — e. Modele teorii mnogości 271.
§ 6. Postaci skolemowe i ich zastosowania
a. Aksjomatyka teorii mniejszości nie zawierająca kwantyfikatorów egzystencjalnych 276. — b. Odpowiedniki skolemowe dowolnego zbioru zdań 278. — c. Sprowadzenie niesprzeczności dowolnego zbioru do niesprzeczności zbioru zdań bez zmiennych 284. — d. Zdania bez zmiennych a tautologie logiczne 285. — e. Wnioski dotyczące niesprzeczności teorii złożonych 290.
§ 7. Definiowalność.........
Rozdział IV. Logiczna klasyfikacja pojęć
§ 1. Pojęcie efektywności w arytmetyce
a. Intuicyjne pojęcie obliczalności i rozstrzygalności 313. — b. Konstrukcje logiczne nie wyprowadzające poza funkcje obliczalne 318. — c. Definicja klasy funkcji obliczalnych 325.
§ 2. Niektóre własności funkcji obliczalnych
a. Operacje elementarnie rekurencyjne 331. — b. Funkcje pary i wykresy 337. — c. Funkcje uniwersalne 339. — d. Funkcje pierwotnie rekurencyjne 340. — e. Twierdzenie o postaci normalnej 349. — f. Uwagi o klasyfikacji relacji nieobliczalnych 352. — g. Zbiory rekurencyjnie przeliczalne 354.
§ 3. Efektywność metod dowodzenia
a. Obliczalność zbioru formuł poprawnie zbudowanych 359. — b. Obli-czalność zbioru aksjomatów 361. — c. Efektywność operacji odrywania i obliczalność zbioru dowodów 363. — d. Rekurencyjna przeliczalność zbioru twierdzeń 364. — e. Arytmetyzacja języka 365.
a. Oznaczenie liczb przez liczebniki 372. — b. Pojęcie reprezentowalności relacji 372. — c. Przykłady reprezentowania relacji i funkcji w arytmetyce 376. — d. Twierdzenie o reprezentowalności w słabszej postaci 382. — e. Reprezentowanie relacji elementarnie rekurencyjnych 386. — f. Repre-zentowalność relacji obliczalnych i słaba reprezeiitowalność zbiorów reku-rencyjnie przeliczalnych 393. — g. Reprezeiitowalność funkcji Obl w arytmetyce Ar bez potęgowania 400.
§ 5. Problemy rozstrzygalności
a. Istotna nierozstrzygalność arytmetyki 402. — b. Nieoddzielalność obliczalna zbioru tez Ar i negacji tez Ar 404. — c. Niezupełność arytmetyki 407. — d. Postać zdań niezależnych 409. — e. Nierozstrzygalność innych teorii matematycznych 4-11.
§ 6. Logiczna klasyfikacja pojęć
a. Funkcjonały obliczalne i relacje obliczalne wyższych typów 416. —
b. Hierarchia arytmetyczna skończona 428. — c. Przykład oszacowania klasy pewnego pojęcia definiowalnego w arytmetyce 436. — d. Hierarchia analityczna 441. — e. Oszacowanie klasy analitycznej pojęcia dobrego porządku 445.
Dodatek. Zarys historyczny
1. Logika starożytności i średniowiecza 453. — 2. Matematyka nowoczesna główną przyczyną powstania nowożytnych rachunków logicznych 455. — 3. Ukształtowanie się klasycznego rachunku kwantyfikatorów 458. — 4. Powstanie teorii mnogości 461. — 5. Badania matematyczne w latach 1900—1930 jako wynik tendencji formalizacyjnych w matematyce 462. — 6. Problematyka badań matematycznych po-1930 r. 463. — 7. Konstruktywizm nowoczesny i nowoczesne logiki nieklasyczne jako reakcja przeciwko rozszerzeniu pojęć logicznych dokonanemu przez klaT syczną logikę i teorię mnogości 465.
Bibliografia
Skorowidz symboli
Skorowidz nazw
